Um manual para uso do software matemático Winplot.

http://www.mat.ufba.br/mat042/m-adelmo.pdf

A Expansão da Educação à distância no Brasil

Esse vídeo fala  da educação à distância no Brasil. Ele é parte de um das 

edições do programa Escola Viva.

Assinatura de Deus: Sequência de Fibonacci

A sequência de  Fibonacci é uma sucessão de números que  aparece em muitos fenômenos da natureza. Descrita no final do século XII pelo italiano Leonardo Fibonacci, ela é infinita e começa com 0 e 1. Os números seguintes são sempre a soma dos dois números anteriores. Portanto, depois de 0 e 1, vêm 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…

Ao transformar esses números em quadrados e dispô-los de maneira geométrica, é possível traçar uma espiral perfeita, que também aparece em diversos organismos vivos. Outra curiosidade é que os termos da sequência também estabelecem a chamada “proporção áurea”, muito usada na arte, na arquitetura e no design por ser considerada agradável aos olhos. Seu valor é de 1,618 e, quanto mais você avança na sequência de Fibonacci, mais a divisão entre um termo e seu antecessor se aproxima desse número. Um retângulo com dois números da sequência de Fibonacci interligados forma o conhecido Retângulo de Ouro. 

Um retângulo de ouro pode ser dividido em quadrados do tamanho do próximo número da sequência Fibonacci em cima e em baixo se quisermos conseguir um retângulo perfeito ou de Ouro, dividindo-o  em pequenos quadrados, baseando-se na sequência Fibonacci e dividindo cada um com um arco, o padrão começa a tomar forma veremos formar-se a espiral de Fibonacci.

Esse espiral é encontrado em vários lugares da natureza:

No girassol: A  formação de seus flósculos estão em perfeitas espirais de 55, 34 e 21, da sequência de Fibonacci.

As corrente que se movem no oceano e as pequenas ondas na praia e as ondas da maré curvam-se num espiral que pode ser identificada nos pontos do diagrama matemático: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34. Os Ramos das árvores, as bolachas-do-mar, a estrela do mar, as pétalas das flores e especialmente as conchas náutilos são formadas exatamente por esse mesmo plano.

                                      

Acima de nossas cabeças atravessando uma média de 100 mil anos-luz, até mesmo nas espirais das galáxias acima de nós são formadas, como o mesmo design que as pequenas conchas são formadas, essa sequência ou plano parece ser a marca de um Designer a prova de um Criador algo deixado para trás no jogo de quem esteve ali, uma impressão digital. E enquanto scaneamos o universo desde a pequena flor até a todas as espirais das galáxias nós vemos a impressão digital de Deus e somos obrigados a  perguntar-nos

Assinatura de Deus: A Razão Áurea

Beleza é a percepção individual de características que são agradáveis aos sentidos. Alguns aspectos referentes a essas características são universais enquanto outros outros são restritos a culturas ou períodos de tempos específicos. Apesar de variação significativa, existe alto grau de concordância entre as culturas do que é considerado belo: perfeição de formas e proporções harmônicas. Muitas coisas que são consideradas belas apresentam uma proporção chamada áurea.

A razão áurea representa a mais agradável proporção entre medidas. Os gregos antigos a designavam como "divisão de um segmento em média e extrema razão". No início do século XXI convencionou-se identificá-la pela letra grega $\Phi$, em homenagem ao arquiteto e escultor grego Phídias, responsável pelo templo grego Parthenon.

Para chegar ao número $\Phi$, vamos considerar um segmento de reta de $AB$ de comprimento $m(AB)=1$unidade, marcando nele um ponto $D$ de forma que $m(AD)=x$ e $m(DB)=1-x$:

Obtemos então a divisão de um segmento em média e extrema razão:

$\dfrac{m(AB)}{m(AD)}=\dfrac{m(AD)}{m(DB)}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{1-x}$

$\Leftrightarrow x^2=1-x$

$\Leftrightarrow x^2+x-1=0$.

Resolvendo esta equação temos

$x=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\; ou\; x=-\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$

desconsiderando a raiz negativa e tomando $\Phi=\dfrac{1}{x}$  temos

$\Phi=1,618...$

Na Bíblia, a arca de Noé é escrita como um colóide de 510 pés de comprimento por 85 pés de largura por 51 pés de altura. Então sua frente é um retângulo de 85x51 pés, um retângulo áureo. Outra arca bíblica que apresenta a razão $\Phi$ á a arca da aliança.

Um fato curioso em relação à razão áurea nos leva ao antigo Egito. A pirâmide de Queóps, construída entre 2551 e 2528 a. C., considerava uma das sete maravilhas do mundo antigo, logo após sua construção sua altura media 280 cúbitos e a medida do lado da base 440 cúbitos, consequentemente, o apótema da base é 220 cúbitos. Aplicando o teorema de Pitágoras temos que o apótema da pirâmide é 356,08 cúbitos. Se calcularmos a razão entre o apótema da pirâmide e o apótema da base obtemos o número $\Phi$.

O filósofo e matemático grego Pitágoras fundou a Escola Pitagórica, entidade possivelmente secreta envolta por muitas lendas. Os seguidores desta escola eram chamados Pitagóricos. O símbolo desta sociedade era um pentagrama, nele o $\Phi$ aparece muitas vezes.

Na Parthenon grego, templo recreativo do século de Péricles, construído por volta de 447 a 433 a. C., quando seu frontispício ainda estava intacto, a razão entre a sua altura e sua largura, era um número que muito se aproximava de $\Phi$. Isto  nos faz perceber a preocupação do arquiteto em construir uma obra com proporções harmônicas. Phidias foi escultor e arquiteto do projeto e em sua homenagem representamos a razão áurea por $\Phi$.

Uma das obras mais notáveis na pintura do Renascimento é a Gioconda de Leonardo da Vinci. Em muitos pontos da obra o $\Phi$ aparece. Ele aparece também em um dos desenhos mais famosos do artista: o Homem Vitruviano.

O tempo de uma música pode ser visto como uma razão, por exemplo a razão entre os tempos das batidas de um bumbo e a caixa de uma bateria. Em algumas dessas sinfonias Ludwing Van Bethoven usou $\Phi$ na marcação do tempo.

Em 1876, o psicólogo alemão, Gustav Fechner, realizou uma pesquisa sobre a preferência por formato de retângulos. O resultado desta mostrou que a maioria das pessoas preferem um certo retângulo cuja razão entre suas medidas muito se aproxima da razão áurea, por este motivo ele ficou conhecido como retângulo áureo. Este tipo de retângulo é bastante utilizado no formato de cartões de crédito, carteira de identidade, crateira de habilitação, capas de livros e cadernos, telas de aparelhos eletrônicos, entre outros.

A maioria das pessoas que são consideradas belas apresentam harmônicas entre as partes do corpo. Proporções estas que se aproximam de $\Phi$!

Encontramos o $\Phi$ em diversas lugares da natureza, nos animais, nas plantas e até mesmo no nosso corpo.

Já está demonstrado que $\Phi$ é o mais mal-aproximado por frações dos números irracionais. O incrível é que na natureza o mais irracional dos números irracionais é utilizado para melhor realizar padrões. Isto nos revela a assinatura de um mesmo arquiteto no projeto de todas as coisas!

Assinatura de Deus: A Geometria das abelhas

É surpreendente que um pequeno inseto como a abelha, possa ser um exemplo de tenacidade, organização e inteligência.

As abelhas produzem o mel num processo lento, mas muito produtivo, ou matematicamente dizendo:

A produção de mel requer das abelhas um mínimo de esforço versus um máximo de rendimento.

É muito interessante observarmos que óleo, leite e outros alimentos são armazenados em embalagens de base redonda, pois estas são mais econômicas em função do volume. Apesar disto, as abelhas ao redor do mundo armazenam o mel em alvéolos cujo formato é de um prisma hexagonal germinado, ou seja, as paredes dos alvéolos são reutilizadas para construção de novos alvéolos.

As abelhas precisam guardar o mel em compartimento individuais, de tal maneira que estes formem um mosaico sem lacunas, uma vez que tem que aproveitar ao máximo o espaço.

Existem outras duas formas geométricas que também se completam naturalmente, sem deixar espaços vazios, encaixando perfeitamente umas nas outras, triângulos equiláteros e quadrados. E porque dentre estas opções as abelhas escolhem os hexágonos regulares, se estes são mais difíceis de construir?

A resposta para esta questão é um problema isoperimétrico:

Dentre triângulos equiláteros, quadrados e hexágonos regulares de mesma área qual tem menor perímetro?

Fixemos a área em 2,6 cm², neste caso, para $l_H$ o lado do hexágono, $l_Q$ o lado do quadrado e $l_T$ lado do triângulo, temos

$2,6=\dfrac{6\sqrt{3}l_H^2}{4}\Rightarrow l_H=1;$

$2,6=l_Q^2\Rightarrow l_Q=1,6;$

 $2,6=\frac{\sqrt{3}l_T^2}{4}\Rightarrow l_T=2,5.$

E então,

$P_H=6;$

$P_Q=6,4;$

 $P_T=7,5.$

Logo, $P_H$, o perímetro do hexágono é o menor dentre os três. Portanto, as abelhas constroem os alvéolos de maneira que conseguem gastar a menor quantidade possível de cera. Sendo a abelha um animal irracional somos impelidos a acreditar que existe um Criador que dotou as abelhas desta capacidade de modo a deixar nelas a sua assinatura.

Donald no país da Matemágica

Donald no País da Matemágica ("Donald in Mathmagic Land") é um curta de 27 minutos estrelado pelo Pato Donald, foi lançado nos EUA em 26 de junho de 1959, foi dirigido por Hamilton Luske. O filme foi disponibilizado para várias escolaas, e se tornou um dos mais populares filmes educativos já feitos pela Disney. Em 1959, foi indicado ao Oscar como melhor Curta-documentário.

Walt Disney uma ves fez uma explicação sobre o filme: "O desenho é um bom meio para estimular o interesse. Nós recentemente explicamos a matemática em um filme animado e, dessa forma, estimulamos o interesse do público neste assunto muito importante."

Vale a pena conferir!

Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras talvez seja o mais importante teorema de toda a matemática. Com ele pode-se descobrir a medida de um lado de um triângulo retângulo, a partir da medida de seus outros dois lados. Pitágoras disse:
A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
Os alunos do LEMA-UFBA produziram este vídeo com uma demonstração bastante lúdica, usando geometria plana, para este Teorema.